Narodil sa 29. 1. 1912 v Stupave, zomrel 30. 9. 1996 v Bratislave. V rokoch 1926 – 1929 sa učil u svojho strýka, známeho ľudového keramikára, Ferdiša Kostku. V rokoch 1929 – 1932 začal študovať na umeleckopriemyselnej škole v Brne, v rokoch 1932 – 1937 študoval na Umeleckopriemyselnej škole v Prahe (prof. Dvořák). V roku 1938 sa zúčastnil na výstave slovenského umenia v New Yorku a v období rokov 1938-1939 absolvoval študijný pobyt v Paríži na l´Ecole des Beaux Arts, kde sa zoznámil s F. Kupkom a J. Šímom. Od roku 1940 pôsobil ako pedagóg na Oddelení kreslenia a maľovania Slovenskej vysokej školy technickej v Bratislave a na Vysokej škole výtvarných umení v Bratislave pôsobil v rokoch 1955 – 1959 ako rektor. V rokoch 1969 – 1970 zastával funkciu predsedu Zväzu slovenských výtvarných umelcov. V roku 1972 bol donútený odísť z Vysokej školy výtvarných umení do dôchodku a pôsobil ako umelec vo voľnom povolaní.
Tvorba Jozefa Kostku patrí k základným hodnotám slovenského novodobého sochárstva. Stelesňuje jeho dejiny, tradíciu a modernu, jeho umenie je klasické a zároveň moderné. J. Kostka má v slovenskom sochárstve výnimočné postavenie, možno ho považovať za prvého, skutočne moderného sochára. Vo svojej tvorbe vychádzal z českej a francúzskej sochárskej školy. Aj keď pracoval takmer so všetkými sochárskymi materiálmi (drevo, kameň, bronz), najviac mu vyhovovala hlina, v ktorej vedel najlepšie vyjadriť svoj modelársky talent. Jozef Kostka od samého začiatku svojej tvorby (koniec 30-tych rokov 20. storočia) neinklinoval k vtedy prevládajúcemu kubizmu a geometrickej abstrakcii, ale priklonil sa k lyrickej forme sochárskeho vyjadrenia, ktoré malo veľmi blízko k básnickej forme nadrealizmu. Jeho sochy vždy mali senzuálnu podobu. Nie neopodstatnene bol R. Fábrym označený za „sochárskeho básnika a básnického sochára“. Ale J. Kostka nikdy nebol ortodoxným nadrealistom, jeho sochy majú „reálne predobrazy“. Po celý umelecký život odmietal akékoľvek doktríny, dokázal syntetizovať podnety z viacerých výtvarných smerov. V prvej polovici 40-tych rokov J. Kostka vo viacerých sochách prejavoval svoj protivojnový postoj. Popri sochách vyjadrujúcich harmóniu, ktorá mu bola vždy ľudsky i umelecky taká blízka, vzniklo viacero sôch s náznakom tragickosti, úzkostí a bolesti. Tento postoj sa prejavuje vo všetkých troch tradičných sochárskych motívoch – v hlave, torze a figúre. V druhej polovici 40-tych rokov vytvoril J. Kostka na zákazku niekoľko monumentálnych sôch – pomníkov, ktoré spracoval väčšinou klasicky a realisticky. V 50-tych rokoch aj J. Kostka čiastočne podľahol tlaku socialistického realizmu, ale nevzdal sa svojho vnútorného sochárskeho lyrizmu. Dekáda 60-tych rokov je považovaná za vrcholné tvorivé obdobie J. Kostku. Celkom zjavne u neho ustupovalo tradičné sochárske realistické poňatie optického napodobňovania a plne sa rozvíjali jeho imaginačné schopnosti voľného abstraktného prejavu nezávislé od predmetu, ktorý vyjadroval. Práve v tomto období sa rozvinul Kostkov senzuálny lyrizmus do najkvalitnejšej tvorby. Sochársky stvárňoval nehmotné javy, procesy, pohyby a vzťahy (napr. žiara leta, smútok jesene, lesk mesiaca, vánok, let vtákov atď.). J. Kostka mal celý umelecký život aj „reliéfny program“, ale práve v 60-tych rokoch ho rozvinul viac a lepšie ako kedykoľvek predtým a potom. V 70-tych rokoch J. Kostka svoj umelecký prejav „stíšil“ a upokojil, znova sa vrátil k javovému prejavu podstaty skutočnosti a prírody, najmä meditatívnym sochárskym stvárnením hláv, torz a figúr. Približne od polovice 70-tych rokov zintenzívnil svoju tvorbu v keramike, v ktorej dokázal organicky spojiť svoj zmysel pre modelovaný tvar, kresbu a farbu. V 80-tych a 90-tych rokoch sa v tvorbe J. Kostku nič zásadné nezmenilo. Realizoval väčšie cyklické projekty, ktoré si naskicoval v predchádzajúcom období, napr. Jar oráča, Ateliér, Dvorec atď. Stále kvalitná je však aj jeho komorná sochárska tvorba.